Løs 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Løs for x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 120 fra begge sider.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Del begge sidene på 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx-30. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=-5 b=6$$

Skriv om x^{2}+x-30 som \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Faktor ut x i den første og 6 i den andre gruppen.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-5=0 og x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+4x=120$$

Trekk fra 120 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Når du trekker fra 120 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 4 for b og -120 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Legg sammen 16 og 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±44}{8} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Del 40 på 8.

$$x=5$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±44}{8} når ± er minus. Trekk fra 44 fra -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Del -48 på 8.

$$x=-6$$

Ligningen er nå løst.

$$x=5 x=-6$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Del 4 på 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Del 120 på 4.

$$x^{2}+x=30$$

Divider 1, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{1}{2}. Legg deretter til kvadratet av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Legg sammen 30 og \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=5 x=-6$$