Løs 4x^2+4x=1

$$4 { x }^{ 2 } +4x = 1$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}\approx 0,207106781$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}\approx -1,207106781$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+4x=1$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+4x-1=1-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+4x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 4 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+16}}{2\times 4}$$

Legg sammen 16 og 16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{32}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 4\sqrt{2}.

$$x=\frac{4\sqrt{2}-4}{8}$$

Del -4+4\sqrt{2} på 8.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±4\sqrt{2}}{8} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{2} fra -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{2}-4}{8}$$

Del -4-4\sqrt{2} på 8.

$$x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=1$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{1}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{1}{4}$$

Del 4 på 4.

$$x^{2}+x=\frac{1}{4}$$

Del 1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1+1}{4}$$

Legg sammen \frac{1}{4} og \frac{1}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Faktoriser x^{2}+x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{2}-1}{2} x=\frac{-\sqrt{2}-1}{2}$$