Løs 4x^2+21x-49=0

$$4 { x }^{ 2 } +21x-49=0$$

Løs for x

$$x=-7$$

$$x = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1,75$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 4x^{2}+ax+bx-49. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=21 ab=4\left(-49\right)=-196$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -196.

$$-1,196 -2,98 -4,49 -7,28 -14,14$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+196=195 -2+98=96 -4+49=45 -7+28=21 -14+14=0$$

Løsningen er paret som gir Summer 21.

$$a=-7 b=28$$

Skriv om 4x^{2}+21x-49 som \left(4x^{2}-7x\right)+\left(28x-49\right).

$$\left(4x^{2}-7x\right)+\left(28x-49\right)$$

Faktor ut x i den første og 7 i den andre gruppen.

$$x\left(4x-7\right)+7\left(4x-7\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 4x-7 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4x-7\right)\left(x+7\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4x-7=0 og x+7=0.

$$x=\frac{7}{4} x=-7$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4x^{2}+21x-49=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 21 for b og -49 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 4\left(-49\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 21.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 4\left(-49\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-16\left(-49\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -49.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+784}}{2\times 4}$$

Legg sammen 441 og 784.

$$x=\frac{-21±\sqrt{1225}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 1225.

$$x=\frac{-21±35}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$x=\frac{-21±35}{8}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-21±35}{8} når ± er pluss. Legg sammen -21 og 35.

$$x=\frac{14}{8}$$

Forkort brøken \frac{14}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{7}{4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-21±35}{8} når ± er minus. Trekk fra 35 fra -21.

$$x=-\frac{56}{8}$$

Del -56 på 8.

$$x=-7$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{7}{4} x=-7$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+21x-49=0$$

Legg til 49 på begge sider av ligningen.

$$4x^{2}+21x-49-\left(-49\right)=-\left(-49\right)$$

Når du trekker fra -49 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4x^{2}+21x=-\left(-49\right)$$

Trekk fra -49 fra 0.

$$4x^{2}+21x=49$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4x^{2}+21x}{4}=\frac{49}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$x^{2}+\frac{21}{4}x=\frac{49}{4}$$

Del \frac{21}{4}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{21}{8}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{21}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{21}{4}x+\left(\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{49}{4}+\left(\frac{21}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{21}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=\frac{49}{4}+\frac{441}{64}$$

Legg sammen \frac{49}{4} og \frac{441}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=\frac{1225}{64}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{1225}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{21}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{64}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{21}{8}=\frac{35}{8} x+\frac{21}{8}=-\frac{35}{8}$$

Trekk fra \frac{21}{8} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{7}{4} x=-7$$