Løs 4t^2+3t=1

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

Løs for t

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0,25$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 1 fra begge sider.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 4t^{2}+at+bt-1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -4.

$$-1,4 -2,2$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Løsningen er paret som gir Summer 3.

$$a=-1 b=4$$

Skriv om 4t^{2}+3t-1 som \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right).

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

Faktorer ut t i 4t^{2}-t.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

Faktorer ut det felles leddet 4t-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 4t-1=0 og t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$4t^{2}+3t=1$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 4 for a, 3 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kvadrer 3.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -4 ganger 4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multipliser -16 ganger -1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Legg sammen 9 og 16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Ta kvadratroten av 25.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

Multipliser 2 ganger 4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{-3±5}{8} når ± er pluss. Legg sammen -3 og 5.

$$t=\frac{2}{8}$$

Forkort brøken \frac{2}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$t=\frac{1}{4}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{-3±5}{8} når ± er minus. Trekk fra 5 fra -3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

Del -8 på 8.

$$t=-1$$

Ligningen er nå løst.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}+3t=1$$

Del begge sidene på 4.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

Hvis du deler på 4, gjør du om gangingen med 4.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

Divider \frac{3}{4}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{3}{8}. Legg deretter til kvadratet av \frac{3}{8} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{8} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Legg sammen \frac{1}{4} og \frac{9}{64} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Faktoriser t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Forenkle.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Trekk fra \frac{3}{8} fra begge sider av ligningen.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$