Løs 4=1/6x^6+x^3+2

$$4 = \frac { 1 } { 6 } x ^ { 6 } + x ^ { 3 } + 2$$

Løs for x (complex solution)

$$x\in \sqrt[3]{\sqrt{21}+3}e^{\frac{\pi i}{3}},\sqrt[3]{\sqrt{21}+3}e^{\frac{5\pi i}{3}},-\sqrt[3]{\sqrt{21}+3},\sqrt[3]{\sqrt{21}-3}e^{\frac{4\pi i}{3}},\sqrt[3]{\sqrt{21}-3},\sqrt[3]{\sqrt{21}-3}e^{\frac{2\pi i}{3}}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bytt om sidene, slik at alle variabelledd er på venstre side.

$$\frac{1}{6}x^{6}+x^{3}+2=4$$

Trekk fra 4 fra begge sider.

$$\frac{1}{6}x^{6}+x^{3}+2-4=0$$

Trekk fra 4 fra 2 for å få -2.

$$\frac{1}{6}x^{6}+x^{3}-2=0$$

Erstatt t med x^{3}.

$$\frac{1}{6}t^{2}+t-2=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt \frac{1}{6} med a, 1 med b, og -2 med c i den kvadratiske ligningen.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times \frac{1}{6}\left(-2\right)}}{\frac{1}{6}\times 2}$$

Utfør beregningene.

$$t=\frac{-1±\frac{1}{3}\sqrt{21}}{\frac{1}{3}}$$

Løs ligningen t=\frac{-1±\frac{1}{3}\sqrt{21}}{\frac{1}{3}} når ± er pluss og ± er minus.

$$t=\sqrt{21}-3 t=-\sqrt{21}-3$$

Siden x=t^{3}, oppnås løsningene ved å løse ligningen for hver t.

$$x=-\sqrt[3]{\sqrt{21}-3}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\sqrt{21}-3}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\sqrt{21}-3} x=-\sqrt[3]{\sqrt{21}+3}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=-\sqrt[3]{\sqrt{21}+3} x=\sqrt[3]{\sqrt{21}+3}e^{\frac{\pi i}{3}}$$

Løs for x

$$x=\sqrt[3]{\sqrt{21}-3}\approx 1,165345841$$

$$x=-\sqrt[3]{\sqrt{21}+3}\approx -1,964591458$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bytt om sidene, slik at alle variabelledd er på venstre side.

$$\frac{1}{6}x^{6}+x^{3}+2=4$$

Trekk fra 4 fra begge sider.

$$\frac{1}{6}x^{6}+x^{3}+2-4=0$$

Trekk fra 4 fra 2 for å få -2.

$$\frac{1}{6}x^{6}+x^{3}-2=0$$

Erstatt t med x^{3}.

$$\frac{1}{6}t^{2}+t-2=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt \frac{1}{6} med a, 1 med b, og -2 med c i den kvadratiske ligningen.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times \frac{1}{6}\left(-2\right)}}{\frac{1}{6}\times 2}$$

Utfør beregningene.

$$t=\frac{-1±\frac{1}{3}\sqrt{21}}{\frac{1}{3}}$$

Løs ligningen t=\frac{-1±\frac{1}{3}\sqrt{21}}{\frac{1}{3}} når ± er pluss og ± er minus.

$$t=\sqrt{21}-3 t=-\sqrt{21}-3$$

Siden x=t^{3}, hentes løsningene ved å evaluere x=\sqrt[3]{t} for hver t.

$$x=\sqrt[3]{\sqrt{21}-3} x=-\sqrt[3]{\sqrt{21}+3}$$