Løs 3x-5x^2=3

$$3x-5 { x }^{ 2 } =3$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}\approx 0,3-0,714142843i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}\approx 0,3+0,714142843i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$-5x^{2}+3x-3=3-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-5x^{2}+3x-3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -5 for a, 3 for b og -3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kvadrer 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multipliser -4 ganger -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+20\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multipliser 20 ganger -3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\left(-5\right)}$$

Legg sammen 9 og -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\left(-5\right)}$$

Ta kvadratroten av -51.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\left(-5\right)}$$

Multipliser 2 ganger -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10} når ± er pluss. Legg sammen -3 og i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{-10}$$

Del -3+i\sqrt{51} på -10.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{51} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{-10}$$

Del -3-i\sqrt{51} på -10.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10} x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Del begge sidene på -5.

$$\frac{-5x^{2}+3x}{-5}=\frac{3}{-5}$$

Hvis du deler på -5, gjør du om gangingen med -5.

$$x^{2}+\frac{3}{-5}x=\frac{3}{-5}$$

Del 3 på -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{3}{-5}$$

Del 3 på -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Divider -\frac{3}{5}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{3}{10}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{3}{10} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{10} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{9}{100}$$

Legg sammen -\frac{3}{5} og \frac{9}{100} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{51}{100}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{51}{100}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{51}{100}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{51}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{51}i}{10}$$

Legg til \frac{3}{10} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10} x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$