Løs 36(y+3)=(14-2y)^2

$$36 ( y + 3 ) = ( 14 - 2 y ) ^ { 2 }$$

Løs for y

$$y=1$$

$$y=22$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk den distributive lov til å multiplisere 36 med y+3.

$$36y+108=\left(14-2y\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(14-2y\right)^{2}.

$$36y+108=196-56y+4y^{2}$$

Trekk fra 196 fra begge sider.

$$36y+108-196=-56y+4y^{2}$$

Trekk fra 196 fra 108 for å få -88.

$$36y-88=-56y+4y^{2}$$

Legg til 56y på begge sider.

$$36y-88+56y=4y^{2}$$

Kombiner 36y og 56y for å få 92y.

$$92y-88=4y^{2}$$

Trekk fra 4y^{2} fra begge sider.

$$92y-88-4y^{2}=0$$

Del begge sidene på 4.

$$23y-22-y^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-y^{2}+23y-22=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -y^{2}+ay+by-22. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=23 ab=-\left(-22\right)=22$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 22.

$$1,22 2,11$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+22=23 2+11=13$$

Løsningen er paret som gir Summer 23.

$$a=22 b=1$$

Skriv om -y^{2}+23y-22 som \left(-y^{2}+22y\right)+\left(y-22\right).

$$\left(-y^{2}+22y\right)+\left(y-22\right)$$

Faktorer ut -y i -y^{2}+22y.

$$-y\left(y-22\right)+y-22$$

Faktorer ut det felles leddet y-22 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(y-22\right)\left(-y+1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse y-22=0 og -y+1=0.

$$y=22 y=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 36 med y+3.

$$36y+108=\left(14-2y\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(14-2y\right)^{2}.

$$36y+108=196-56y+4y^{2}$$

Trekk fra 196 fra begge sider.

$$36y+108-196=-56y+4y^{2}$$

Trekk fra 196 fra 108 for å få -88.

$$36y-88=-56y+4y^{2}$$

Legg til 56y på begge sider.

$$36y-88+56y=4y^{2}$$

Kombiner 36y og 56y for å få 92y.

$$92y-88=4y^{2}$$

Trekk fra 4y^{2} fra begge sider.

$$92y-88-4y^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-4y^{2}+92y-88=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -4 for a, 92 for b og -88 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-92±\sqrt{92^{2}-4\left(-4\right)\left(-88\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kvadrer 92.

$$y=\frac{-92±\sqrt{8464-4\left(-4\right)\left(-88\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser -4 ganger -4.

$$y=\frac{-92±\sqrt{8464+16\left(-88\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 16 ganger -88.

$$y=\frac{-92±\sqrt{8464-1408}}{2\left(-4\right)}$$

Legg sammen 8464 og -1408.

$$y=\frac{-92±\sqrt{7056}}{2\left(-4\right)}$$

Ta kvadratroten av 7056.

$$y=\frac{-92±84}{2\left(-4\right)}$$

Multipliser 2 ganger -4.

$$y=\frac{-92±84}{-8}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{-92±84}{-8} når ± er pluss. Legg sammen -92 og 84.

$$y=-\frac{8}{-8}$$

Del -8 på -8.

$$y=1$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{-92±84}{-8} når ± er minus. Trekk fra 84 fra -92.

$$y=-\frac{176}{-8}$$

Del -176 på -8.

$$y=22$$

Ligningen er nå løst.

$$y=1 y=22$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 36 med y+3.

$$36y+108=\left(14-2y\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(14-2y\right)^{2}.

$$36y+108=196-56y+4y^{2}$$

Legg til 56y på begge sider.

$$36y+108+56y=196+4y^{2}$$

Kombiner 36y og 56y for å få 92y.

$$92y+108=196+4y^{2}$$

Trekk fra 4y^{2} fra begge sider.

$$92y+108-4y^{2}=196$$

Trekk fra 108 fra begge sider.

$$92y-4y^{2}=196-108$$

Trekk fra 108 fra 196 for å få 88.

$$92y-4y^{2}=88$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-4y^{2}+92y=88$$

Del begge sidene på -4.

$$\frac{-4y^{2}+92y}{-4}=\frac{88}{-4}$$

Hvis du deler på -4, gjør du om gangingen med -4.

$$y^{2}+\frac{92}{-4}y=\frac{88}{-4}$$

Del 92 på -4.

$$y^{2}-23y=\frac{88}{-4}$$

Del 88 på -4.

$$y^{2}-23y=-22$$

Del -23, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{23}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{23}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}-23y+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-22+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{23}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y^{2}-23y+\frac{529}{4}=-22+\frac{529}{4}$$

Legg sammen -22 og \frac{529}{4}.

$$y^{2}-23y+\frac{529}{4}=\frac{441}{4}$$

Faktoriser y^{2}-23y+\frac{529}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

Forenkle.

$$y-\frac{23}{2}=\frac{21}{2} y-\frac{23}{2}=-\frac{21}{2}$$

Legg til \frac{23}{2} på begge sider av ligningen.

$$y=22 y=1$$