Løs 31x^2-3x+1=0

$$31 x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}\approx 0,048387097+0,172964602i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}\approx 0,048387097-0,172964602i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 31 for a, -3 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 31}}{2\times 31}$$

Kvadrer -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 31}}{2\times 31}$$

Multipliser -4 ganger 31.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-124}}{2\times 31}$$

Legg sammen 9 og -124.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-115}}{2\times 31}$$

Ta kvadratroten av -115.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Det motsatte av -3 er 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{2\times 31}$$

Multipliser 2 ganger 31.

$$x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} når ± er pluss. Legg sammen 3 og i\sqrt{115}.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±\sqrt{115}i}{62} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{115} fra 3.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$31x^{2}-3x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$31x^{2}-3x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$31x^{2}-3x=-1$$

Del begge sidene på 31.

$$\frac{31x^{2}-3x}{31}=-\frac{1}{31}$$

Hvis du deler på 31, gjør du om gangingen med 31.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x=-\frac{1}{31}$$

Del -\frac{3}{31}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{62}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{62} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{1}{31}+\left(-\frac{3}{62}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{62} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{1}{31}+\frac{9}{3844}$$

Legg sammen -\frac{1}{31} og \frac{9}{3844} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}=-\frac{115}{3844}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{3}{31}x+\frac{9}{3844}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}=-\frac{115}{3844}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{62}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{3844}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{62}=\frac{\sqrt{115}i}{62} x-\frac{3}{62}=-\frac{\sqrt{115}i}{62}$$

Legg til \frac{3}{62} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3+\sqrt{115}i}{62} x=\frac{-\sqrt{115}i+3}{62}$$