Løs 30b^2-28b-16=0

$$30 b ^ { 2 } - 28 b - 16 = 0$$

Løs for b

$$b=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$b = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 2.

$$15b^{2}-14b-8=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 15b^{2}+ab+bb-8. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-14 ab=15\left(-8\right)=-120$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Løsningen er paret som gir Summer -14.

$$a=-20 b=6$$

Skriv om 15b^{2}-14b-8 som \left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right).

$$\left(15b^{2}-20b\right)+\left(6b-8\right)$$

Faktor ut 5b i den første og 2 i den andre gruppen.

$$5b\left(3b-4\right)+2\left(3b-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3b-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3b-4\right)\left(5b+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3b-4=0 og 5b+2=0.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 30 for a, -28 for b og -16 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Kvadrer -28.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 30\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Multipliser -4 ganger 30.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-120\left(-16\right)}}{2\times 30}$$

Multipliser -120 ganger -16.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+1920}}{2\times 30}$$

Legg sammen 784 og 1920.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{2704}}{2\times 30}$$

Ta kvadratroten av 2704.

$$b=\frac{-\left(-28\right)±52}{2\times 30}$$

Det motsatte av -28 er 28.

$$b=\frac{28±52}{2\times 30}$$

Multipliser 2 ganger 30.

$$b=\frac{28±52}{60}$$

Nå kan du løse formelen b=\frac{28±52}{60} når ± er pluss. Legg sammen 28 og 52.

$$b=\frac{80}{60}$$

Forkort brøken \frac{80}{60} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 20.

$$b=\frac{4}{3}$$

Nå kan du løse formelen b=\frac{28±52}{60} når ± er minus. Trekk fra 52 fra 28.

$$b=-\frac{24}{60}$$

Forkort brøken \frac{-24}{60} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 12.

$$b=-\frac{2}{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$30b^{2}-28b-16=0$$

Legg til 16 på begge sider av ligningen.

$$30b^{2}-28b-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Når du trekker fra -16 fra seg selv har du 0 igjen.

$$30b^{2}-28b=-\left(-16\right)$$

Trekk fra -16 fra 0.

$$30b^{2}-28b=16$$

Del begge sidene på 30.

$$\frac{30b^{2}-28b}{30}=\frac{16}{30}$$

Hvis du deler på 30, gjør du om gangingen med 30.

$$b^{2}+\left(-\frac{28}{30}\right)b=\frac{16}{30}$$

Forkort brøken \frac{-28}{30} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{16}{30}$$

Forkort brøken \frac{16}{30} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b=\frac{8}{15}$$

Del -\frac{14}{15}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{15}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{15} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{8}{15}+\left(-\frac{7}{15}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{15} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{8}{15}+\frac{49}{225}$$

Legg sammen \frac{8}{15} og \frac{49}{225} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}=\frac{169}{225}$$

Faktoriser b^{2}-\frac{14}{15}b+\frac{49}{225}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}=\frac{169}{225}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(b-\frac{7}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{225}}$$

Forenkle.

$$b-\frac{7}{15}=\frac{13}{15} b-\frac{7}{15}=-\frac{13}{15}$$

Legg til \frac{7}{15} på begge sider av ligningen.

$$b=\frac{4}{3} b=-\frac{2}{5}$$