Løs 3x-6x^2=-108

$$3 x - 6 x ^ { 2 } = - 108$$

Løs for x

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

$$x=-4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Legg til 108 på begge sider.

$$3x-6x^{2}+108=0$$

Del begge sidene på 3.

$$x-2x^{2}+36=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-2x^{2}+x+36=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -2x^{2}+ax+bx+36. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=-2\times 36=-72$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=9 b=-8$$

Skriv om -2x^{2}+x+36 som \left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-8x+36\right).

$$\left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-8x+36\right)$$

Faktor ut -x i den første og -4 i den andre gruppen.

$$-x\left(2x-9\right)-4\left(2x-9\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 2x-9 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(2x-9\right)\left(-x-4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 2x-9=0 og -x-4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-6x^{2}+3x=-108$$

Legg til 108 på begge sider av ligningen.

$$-6x^{2}+3x-\left(-108\right)=-108-\left(-108\right)$$

Når du trekker fra -108 fra seg selv har du 0 igjen.

$$-6x^{2}+3x-\left(-108\right)=0$$

Trekk fra -108 fra 0.

$$-6x^{2}+3x+108=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -6 for a, 3 for b og 108 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-6\right)\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Kvadrer 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-6\right)\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Multipliser -4 ganger -6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+24\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Multipliser 24 ganger 108.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+2592}}{2\left(-6\right)}$$

Legg sammen 9 og 2592.

$$x=\frac{-3±\sqrt{2601}}{2\left(-6\right)}$$

Ta kvadratroten av 2601.

$$x=\frac{-3±51}{2\left(-6\right)}$$

Multipliser 2 ganger -6.

$$x=\frac{-3±51}{-12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±51}{-12} når ± er pluss. Legg sammen -3 og 51.

$$x=\frac{48}{-12}$$

Del 48 på -12.

$$x=-4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±51}{-12} når ± er minus. Trekk fra 51 fra -3.

$$x=-\frac{54}{-12}$$

Forkort brøken \frac{-54}{-12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 6.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-4 x=\frac{9}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+3x=-108$$

Del begge sidene på -6.

$$\frac{-6x^{2}+3x}{-6}=-\frac{108}{-6}$$

Hvis du deler på -6, gjør du om gangingen med -6.

$$x^{2}+\frac{3}{-6}x=-\frac{108}{-6}$$

Forkort brøken \frac{3}{-6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{108}{-6}$$

Del -108 på -6.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

Del -\frac{1}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Legg sammen 18 og \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Legg til \frac{1}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$