Løs 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Løs for x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$3x-5y=4$$

Legg til 5y på begge sider av ligningen.

$$3x=5y+4$$

Del begge sidene på 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Multipliser \frac{1}{3} ganger 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Sett inn \frac{5y+4}{3} for x i den andre formelen, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Multipliser 9 ganger \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Legg sammen 15y og -2y.

$$13y+12=7$$

Trekk fra 12 fra begge sider av ligningen.

$$13y=-5$$

Del begge sidene på 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Sett inn -\frac{5}{13} for y i x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Multipliser \frac{5}{3} med -\frac{5}{13} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Legg sammen \frac{4}{3} og -\frac{25}{39} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=\frac{9}{13}$$

Systemet er nå løst.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

For å gjøre 3x og 9x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 9 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Forenkle.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Trekk fra 27x-6y=21 fra 27x-45y=36 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Legg sammen 27x og -27x. Vilkårene 27x og -27x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-45y+6y=36-21$$

Legg sammen -45y og 6y.

$$-39y=36-21$$

Legg sammen 36 og -21.

$$-39y=15$$

Del begge sidene på -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Sett inn -\frac{5}{13} for y i 9x-2y=7. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Multipliser -2 ganger -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Trekk fra \frac{10}{13} fra begge sider av ligningen.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Del begge sidene på 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Systemet er nå løst.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$