Løs 3x-2y=14text{and}2x+2y=6

$$3 x - 2 y = 14 \text { and } 2 x + 2 y = 6$$

Løs for x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$3x-2y=14$$

Legg til 2y på begge sider av ligningen.

$$3x=2y+14$$

Del begge sidene på 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+14\right)$$

Multipliser \frac{1}{3} ganger 14+2y.

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}$$

Sett inn \frac{14+2y}{3} for x i den andre formelen, 2x+2y=6.

$$2\left(\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}\right)+2y=6$$

Multipliser 2 ganger \frac{14+2y}{3}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{28}{3}+2y=6$$

Legg sammen \frac{4y}{3} og 2y.

$$\frac{10}{3}y+\frac{28}{3}=6$$

Trekk fra \frac{28}{3} fra begge sider av ligningen.

$$\frac{10}{3}y=-\frac{10}{3}$$

Del begge sidene av ligningen på \frac{10}{3}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$y=-1$$

Sett inn -1 for y i x=\frac{2}{3}y+\frac{14}{3}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{2}{3}\left(-1\right)+\frac{14}{3}$$

Multipliser \frac{2}{3} ganger -1.

$$x=\frac{-2+14}{3}$$

Legg sammen \frac{14}{3} og -\frac{2}{3} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=4$$

Systemet er nå løst.

$$x=4,y=-1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{5}\times 6\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{3}{10}\times 6\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=4,y=-1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$3x-2y=14,2x+2y=6$$

For å gjøre 3x og 2x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 2 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 3.

$$2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\times 14,3\times 2x+3\times 2y=3\times 6$$

Forenkle.

$$6x-4y=28,6x+6y=18$$

Trekk fra 6x+6y=18 fra 6x-4y=28 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$6x-6x-4y-6y=28-18$$

Legg sammen 6x og -6x. Vilkårene 6x og -6x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$-4y-6y=28-18$$

Legg sammen -4y og -6y.

$$-10y=28-18$$

Legg sammen 28 og -18.

$$-10y=10$$

Del begge sidene på -10.

$$y=-1$$

Sett inn -1 for y i 2x+2y=6. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$2x+2\left(-1\right)=6$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$2x-2=6$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$2x=8$$

Del begge sidene på 2.

$$x=4$$

Systemet er nå løst.

$$x=4,y=-1$$