Løs 3x-15=2x(x-5)

$$3 x - 15 = 2 x ( x - 5 )$$

Løs for x

$$x=5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x med x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Trekk fra 2x^{2} fra begge sider.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Legg til 10x på begge sider.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Kombiner 3x og 10x for å få 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -2x^{2}+ax+bx-15. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=13 ab=-2\left(-15\right)=30$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Løsningen er paret som gir Summer 13.

$$a=10 b=3$$

Skriv om -2x^{2}+13x-15 som \left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(-2x^{2}+10x\right)+\left(3x-15\right)$$

Faktor ut 2x i den første og -3 i den andre gruppen.

$$2x\left(-x+5\right)-3\left(-x+5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet -x+5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(-x+5\right)\left(2x-3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse -x+5=0 og 2x-3=0.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x med x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Trekk fra 2x^{2} fra begge sider.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Legg til 10x på begge sider.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Kombiner 3x og 10x for å få 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-2x^{2}+13x-15=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -2 for a, 13 for b og -15 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrer 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser -4 ganger -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\left(-15\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser 8 ganger -15.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-2\right)}$$

Legg sammen 169 og -120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Ta kvadratroten av 49.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-2\right)}$$

Multipliser 2 ganger -2.

$$x=\frac{-13±7}{-4}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-13±7}{-4} når ± er pluss. Legg sammen -13 og 7.

$$x=-\frac{6}{-4}$$

Forkort brøken \frac{-6}{-4} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-13±7}{-4} når ± er minus. Trekk fra 7 fra -13.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

Del -20 på -4.

$$x=5$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3}{2} x=5$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk den distributive lov til å multiplisere 2x med x-5.

$$3x-15=2x^{2}-10x$$

Trekk fra 2x^{2} fra begge sider.

$$3x-15-2x^{2}=-10x$$

Legg til 10x på begge sider.

$$3x-15-2x^{2}+10x=0$$

Kombiner 3x og 10x for å få 13x.

$$13x-15-2x^{2}=0$$

Legg til 15 på begge sider. Hvilket som helst tall pluss null gir seg selv.

$$13x-2x^{2}=15$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x=15$$

Del begge sidene på -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=\frac{15}{-2}$$

Hvis du deler på -2, gjør du om gangingen med -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=\frac{15}{-2}$$

Del 13 på -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=\frac{15}{-2}$$

Del 15 på -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{15}{2}$$

Del -\frac{13}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{13}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{13}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{13}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{15}{2}+\frac{169}{16}$$

Legg sammen -\frac{15}{2} og \frac{169}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{7}{4}$$

Legg til \frac{13}{4} på begge sider av ligningen.

$$x=5 x=\frac{3}{2}$$