Løs 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Faktoriser

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Multipliser og kombiner like ledd.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Hvis du vil beregne uttrykket, kan du løse ligningen der den er lik 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -16 og q dividerer den ledende koeffisienten 3. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-4$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 på x+4 for å få 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -4 og q dividerer den ledende koeffisienten 3. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-4$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del 3x^{3}+12x^{2}-x-4 på x+4 for å få 3x^{2}-1. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 3 med a, 0 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Løs ligningen 3x^{2}-1=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket på nytt ved hjelp av de hentede røttene. Polynom 3x^{2}-1 er ikke beregnet fordi det ikke har noen rasjonelle røtter.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Evaluer

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Kombiner 48x^{2} og -x^{2} for å få 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$