Løs 3x^2-9x-7=0

$$3 x ^ { 2 } - 9 x - 7 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{165}}{6}+\frac{3}{2}\approx 3,640872096$$

$$x=-\frac{\sqrt{165}}{6}+\frac{3}{2}\approx -0,640872096$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-9x-7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -9 for b og -7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -7.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+84}}{2\times 3}$$

Legg sammen 81 og 84.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{165}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -9 er 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{165}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{9±\sqrt{165}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{9±\sqrt{165}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 9 og \sqrt{165}.

$$x=\frac{\sqrt{165}+9}{6}$$

Del 9+\sqrt{165} på 6.

$$x=\frac{\sqrt{165}}{6}+\frac{3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{9±\sqrt{165}}{6} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{165} fra 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{165}}{6}$$

Del 9-\sqrt{165} på 6.

$$x=-\frac{\sqrt{165}}{6}+\frac{3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{165}}{6}+\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{165}}{6}+\frac{3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-9x-7=0$$

Legg til 7 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-9x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Når du trekker fra -7 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-9x=-\left(-7\right)$$

Trekk fra -7 fra 0.

$$3x^{2}-9x=7$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-9x}{3}=\frac{7}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{3}\right)x=\frac{7}{3}$$

Del -9 på 3.

$$x^{2}-3x=\frac{7}{3}$$

Del -3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{7}{3}+\frac{9}{4}$$

Legg sammen \frac{7}{3} og \frac{9}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{55}{12}$$

Faktoriser x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{55}{12}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{55}{12}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{165}}{6} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{165}}{6}$$

Legg til \frac{3}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{165}}{6}+\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{165}}{6}+\frac{3}{2}$$