Løs 3x^2-8x-17=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x - 17 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{67} + 4}{3} \approx 4,061784257$$

$$x=\frac{4-\sqrt{67}}{3}\approx -1,395117591$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-8x-17=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -8 for b og -17 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\left(-17\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\left(-17\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\left(-17\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -17.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+204}}{2\times 3}$$

Legg sammen 64 og 204.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{268}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 268.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{67}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -8 er 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{67}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{67}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{8±2\sqrt{67}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 8 og 2\sqrt{67}.

$$x=\frac{2\sqrt{67}+8}{6}$$

Del 8+2\sqrt{67} på 6.

$$x=\frac{\sqrt{67}+4}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{8±2\sqrt{67}}{6} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{67} fra 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{67}}{6}$$

Del 8-2\sqrt{67} på 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{67}}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{67}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{67}}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x-17=0$$

Legg til 17 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-8x-17-\left(-17\right)=-\left(-17\right)$$

Når du trekker fra -17 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-8x=-\left(-17\right)$$

Trekk fra -17 fra 0.

$$3x^{2}-8x=17$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=\frac{17}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{17}{3}$$

Del -\frac{8}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{4}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{4}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{17}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{4}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{17}{3}+\frac{16}{9}$$

Legg sammen \frac{17}{3} og \frac{16}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{67}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{67}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{67}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{67}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{67}}{3}$$

Legg til \frac{4}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{67}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{67}}{3}$$