Løs 3x^2-8x+3=0

$$3 x ^ { 2 } - 8 x + 3 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 4}{3} \approx 2,215250437$$

$$x=\frac{4-\sqrt{7}}{3}\approx 0,45141623$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-8x+3=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -8 for b og 3 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrer -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-12\times 3}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-36}}{2\times 3}$$

Legg sammen 64 og -36.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{28}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -8 er 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{8±2\sqrt{7}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{8±2\sqrt{7}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 8 og 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+8}{6}$$

Del 8+2\sqrt{7} på 6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+4}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{8±2\sqrt{7}}{6} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{7} fra 8.

$$x=\frac{8-2\sqrt{7}}{6}$$

Del 8-2\sqrt{7} på 6.

$$x=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{7}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-8x+3=0$$

Trekk fra 3 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-8x+3-3=-3$$

Når du trekker fra 3 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-8x=-3$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-8x}{3}=-\frac{3}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{3}{3}$$

Del -3 på 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-1$$

Del -\frac{8}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{4}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{4}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{4}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-1+\frac{16}{9}$$

Legg sammen -1 og \frac{16}{9}.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{7}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Legg til \frac{4}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{7}+4}{3} x=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$$