Løs 3x^2-7x+5=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}\approx 1,166666667+0,552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}\approx 1,166666667-0,552770798i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -7 for b og 5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Kvadrer -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 5}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 3}$$

Legg sammen 49 og -60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Det motsatte av -7 er 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} når ± er pluss. Legg sammen 7 og i\sqrt{11}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{11} fra 7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-7x+5-5=-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-7x=-5$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Del -\frac{7}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{7}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{7}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Legg sammen -\frac{5}{3} og \frac{49}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{11}{36}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

Legg til \frac{7}{6} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$