Løs 3x^2-7x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 4 = 0$$

Løs for x

$$x=1$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 3x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-7 ab=3\times 4=12$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Løsningen er paret som gir Summer -7.

$$a=-4 b=-3$$

Skriv om 3x^{2}-7x+4 som \left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(-3x+4\right)$$

Faktor ut x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$x\left(3x-4\right)-\left(3x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-4\right)\left(x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x-4=0 og x-1=0.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -7 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kvadrer -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 4}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-48}}{2\times 3}$$

Legg sammen 49 og -48.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 1.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±1}{2\times 3}$$

Det motsatte av -7 er 7.

$$x=\frac{7±1}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{7±1}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±1}{6} når ± er pluss. Legg sammen 7 og 1.

$$x=\frac{8}{6}$$

Forkort brøken \frac{8}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±1}{6} når ± er minus. Trekk fra 1 fra 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Del 6 på 6.

$$x=1$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+4=0$$

Trekk fra 4 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-7x+4-4=-4$$

Når du trekker fra 4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-7x=-4$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Divider -\frac{7}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{7}{6}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{7}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{49}{36}$$

Legg sammen -\frac{4}{3} og \frac{49}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{1}{36}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{1}{6}$$

Legg til \frac{7}{6} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{4}{3} x=1$$