Løs 3x^2-40x+96=0

$$3 x ^ { 2 } - 40 x + 96 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{4 \sqrt{7} + 20}{3} \approx 10,194335081$$

$$x = \frac{20 - 4 \sqrt{7}}{3} \approx 3,138998252$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -40 for b og 96 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Kvadrer -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 3\times 96}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-12\times 96}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 96.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1152}}{2\times 3}$$

Legg sammen 1600 og -1152.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{448}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 448.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -40 er 40.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 40 og 8\sqrt{7}.

$$x=\frac{8\sqrt{7}+40}{6}$$

Del 40+8\sqrt{7} på 6.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{40±8\sqrt{7}}{6} når ± er minus. Trekk fra 8\sqrt{7} fra 40.

$$x=\frac{40-8\sqrt{7}}{6}$$

Del 40-8\sqrt{7} på 6.

$$x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-40x+96=0$$

Trekk fra 96 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-40x+96-96=-96$$

Når du trekker fra 96 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-40x=-96$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-40x}{3}=-\frac{96}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-\frac{96}{3}$$

Del -96 på 3.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x=-32$$

Del -\frac{40}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{20}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{20}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}=-32+\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{20}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=-32+\frac{400}{9}$$

Legg sammen -32 og \frac{400}{9}.

$$x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}=\frac{112}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{40}{3}x+\frac{400}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}=\frac{112}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{20}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{112}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{20}{3}=\frac{4\sqrt{7}}{3} x-\frac{20}{3}=-\frac{4\sqrt{7}}{3}$$

Legg til \frac{20}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+20}{3} x=\frac{20-4\sqrt{7}}{3}$$