Løs 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Løs for x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx+84. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

Løsningen er paret som gir Summer -32.

$$a=-18 b=-14$$

Skriv om 3x^{2}-32x+84 som \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Faktor ut 3x i den første og -14 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-6 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-6=0 og 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -32 for b og 84 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Kvadrer -32.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Legg sammen 1024 og -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

Det motsatte av -32 er 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{32±4}{6} når ± er pluss. Legg sammen 32 og 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Del 36 på 6.

$$x=6$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{32±4}{6} når ± er minus. Trekk fra 4 fra 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Forkort brøken \frac{28}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Trekk fra 84 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Når du trekker fra 84 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Del -84 på 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Del -\frac{32}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{16}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{16}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{16}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Legg sammen -28 og \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Legg til \frac{16}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$