Løs 3x^2-3x=81

$$3 x ^ { 2 } - 3 x = 81$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 1}{2} \approx 5,720153254$$

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}\approx -4,720153254$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-3x=81$$

Trekk fra 81 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-3x-81=81-81$$

Når du trekker fra 81 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-3x-81=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -3 for b og -81 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 3\left(-81\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 3\left(-81\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-12\left(-81\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -81.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+972}}{2\times 3}$$

Legg sammen 9 og 972.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{981}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 981.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±3\sqrt{109}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -3 er 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{109}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{3±3\sqrt{109}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±3\sqrt{109}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 3 og 3\sqrt{109}.

$$x=\frac{3\sqrt{109}+3}{6}$$

Del 3+3\sqrt{109} på 6.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±3\sqrt{109}}{6} når ± er minus. Trekk fra 3\sqrt{109} fra 3.

$$x=\frac{3-3\sqrt{109}}{6}$$

Del 3-3\sqrt{109} på 6.

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-3x=81$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-3x}{3}=\frac{81}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{3}\right)x=\frac{81}{3}$$

Del -3 på 3.

$$x^{2}-x=\frac{81}{3}$$

Del 81 på 3.

$$x^{2}-x=27$$

Del -1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=27+\frac{1}{4}$$

Legg sammen 27 og \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{109}{4}$$

Faktoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{109}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{109}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{109}}{2}$$

Legg til \frac{1}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$