Løs 3x^2-23x+175=0

$$3 x ^ { 2 } - 23 x + 175 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{23+\sqrt{1571}i}{6}\approx 3,833333333+6,605973728i$$

$$x=\frac{-\sqrt{1571}i+23}{6}\approx 3,833333333-6,605973728i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-23x+175=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -23 for b og 175 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 3\times 175}}{2\times 3}$$

Kvadrer -23.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 3\times 175}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-12\times 175}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 175.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-2100}}{2\times 3}$$

Legg sammen 529 og -2100.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{-1571}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av -1571.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{1571}i}{2\times 3}$$

Det motsatte av -23 er 23.

$$x=\frac{23±\sqrt{1571}i}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{23±\sqrt{1571}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{23±\sqrt{1571}i}{6} når ± er pluss. Legg sammen 23 og i\sqrt{1571}.

$$x=\frac{23+\sqrt{1571}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{23±\sqrt{1571}i}{6} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{1571} fra 23.

$$x=\frac{-\sqrt{1571}i+23}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{23+\sqrt{1571}i}{6} x=\frac{-\sqrt{1571}i+23}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-23x+175=0$$

Trekk fra 175 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-23x+175-175=-175$$

Når du trekker fra 175 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-23x=-175$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-23x}{3}=-\frac{175}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{23}{3}x=-\frac{175}{3}$$

Del -\frac{23}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{23}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{23}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{23}{3}x+\left(-\frac{23}{6}\right)^{2}=-\frac{175}{3}+\left(-\frac{23}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{23}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=-\frac{175}{3}+\frac{529}{36}$$

Legg sammen -\frac{175}{3} og \frac{529}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=-\frac{1571}{36}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{6}\right)^{2}=-\frac{1571}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1571}{36}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{23}{6}=\frac{\sqrt{1571}i}{6} x-\frac{23}{6}=-\frac{\sqrt{1571}i}{6}$$

Legg til \frac{23}{6} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{23+\sqrt{1571}i}{6} x=\frac{-\sqrt{1571}i+23}{6}$$