Løs 3x^2-20x-12=10

$$3 x ^ { 2 } - 20 x - 12 = 10$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{166} + 10}{3} \approx 7,628032909$$

$$x=\frac{10-\sqrt{166}}{3}\approx -0,961366242$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-20x-12=10$$

Trekk fra 10 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-20x-12-10=10-10$$

Når du trekker fra 10 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-20x-12-10=0$$

Trekk fra 10 fra -12.

$$3x^{2}-20x-22=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -20 for b og -22 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3\left(-22\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3\left(-22\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12\left(-22\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -22.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400+264}}{2\times 3}$$

Legg sammen 400 og 264.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{664}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 664.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{166}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -20 er 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{166}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{166}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{20±2\sqrt{166}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 20 og 2\sqrt{166}.

$$x=\frac{2\sqrt{166}+20}{6}$$

Del 20+2\sqrt{166} på 6.

$$x=\frac{\sqrt{166}+10}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{20±2\sqrt{166}}{6} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{166} fra 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{166}}{6}$$

Del 20-2\sqrt{166} på 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{166}}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{166}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{166}}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x-12=10$$

Legg til 12 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-20x-12-\left(-12\right)=10-\left(-12\right)$$

Når du trekker fra -12 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-20x=10-\left(-12\right)$$

Trekk fra -12 fra 10.

$$3x^{2}-20x=22$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=\frac{22}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{22}{3}$$

Del -\frac{20}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{10}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{10}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{22}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{10}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{22}{3}+\frac{100}{9}$$

Legg sammen \frac{22}{3} og \frac{100}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{166}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{166}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{166}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{166}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{166}}{3}$$

Legg til \frac{10}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{166}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{166}}{3}$$