Løs 3x^2-20x+1=0

$$3 x ^ { 2 } - 20 x + 1 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{97} + 10}{3} \approx 6,616285934$$

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}\approx 0,050380733$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -20 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrer -20.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-12}}{2\times 3}$$

Legg sammen 400 og -12.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{388}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 388.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Det motsatte av -20 er 20.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} når ± er pluss. Legg sammen 20 og 2\sqrt{97}.

$$x=\frac{2\sqrt{97}+20}{6}$$

Del 20+2\sqrt{97} på 6.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{20±2\sqrt{97}}{6} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{97} fra 20.

$$x=\frac{20-2\sqrt{97}}{6}$$

Del 20-2\sqrt{97} på 6.

$$x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-20x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-20x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-20x=-1$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-20x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Del -\frac{20}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{10}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{10}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{10}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{100}{9}$$

Legg sammen -\frac{1}{3} og \frac{100}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{97}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{97}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{97}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{97}}{3}$$

Legg til \frac{10}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{97}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{97}}{3}$$