Løs 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Løs for x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx-16. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

Løsningen er paret som gir Summer -2.

$$a=-8 b=6$$

Skriv om 3x^{2}-2x-16 som \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Faktor ut x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-8 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x-8=0 og x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -2 for b og -16 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Legg sammen 4 og 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±14}{6} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Forkort brøken \frac{16}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±14}{6} når ± er minus. Trekk fra 14 fra 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Del -12 på 6.

$$x=-2$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Legg til 16 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Når du trekker fra -16 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Trekk fra -16 fra 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Del -\frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Legg sammen \frac{16}{3} og \frac{1}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Legg til \frac{1}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$