Løs 3x^2-2x+4=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x + 4 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0,333333333+1,105541597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0,333333333-1,105541597i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -2 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kvadrer -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 4}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-48}}{2\times 3}$$

Legg sammen 4 og -48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-44}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av -44.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Det motsatte av -2 er 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} når ± er pluss. Legg sammen 2 og 2i\sqrt{11}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{11}i}{6}$$

Del 2+2i\sqrt{11} på 6.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{2±2\sqrt{11}i}{6} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{11} fra 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i+2}{6}$$

Del 2-2i\sqrt{11} på 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+4=0$$

Trekk fra 4 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-2x+4-4=-4$$

Når du trekker fra 4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-2x=-4$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Del -\frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

Legg sammen -\frac{4}{3} og \frac{1}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

Legg til \frac{1}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$