Løs 3x^2-16x+16=0

$$3 x ^ { 2 } - 16 x + 16 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx+16. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-16 ab=3\times 16=48$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

Løsningen er paret som gir Summer -16.

$$a=-12 b=-4$$

Skriv om 3x^{2}-16x+16 som \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-4x+16\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-4x+16\right)$$

Faktor ut 3x i den første og -4 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-4\right)-4\left(x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-4\right)\left(3x-4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-4=0 og 3x-4=0.

$$x=4 x=\frac{4}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-16x+16=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -16 for b og 16 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Kvadrer -16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-192}}{2\times 3}$$

Legg sammen 256 og -192.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{64}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±8}{2\times 3}$$

Det motsatte av -16 er 16.

$$x=\frac{16±8}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{16±8}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{16±8}{6} når ± er pluss. Legg sammen 16 og 8.

$$x=\frac{24}{6}$$

Del 24 på 6.

$$x=4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{16±8}{6} når ± er minus. Trekk fra 8 fra 16.

$$x=\frac{8}{6}$$

Forkort brøken \frac{8}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4 x=\frac{4}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-16x+16=0$$

Trekk fra 16 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-16x+16-16=-16$$

Når du trekker fra 16 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-16x=-16$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-16x}{3}=-\frac{16}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{16}{3}$$

Del -\frac{16}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{8}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{8}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{8}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{16}{3}+\frac{64}{9}$$

Legg sammen -\frac{16}{3} og \frac{64}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{16}{9}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{4}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{4}{3}$$

Legg til \frac{8}{3} på begge sider av ligningen.

$$x=4 x=\frac{4}{3}$$