Løs 3x^2-12x+19=0

$$3 x ^ { 2 } - 12 x + 19 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{21}i}{3}+2\approx 2+1,527525232i$$

$$x=-\frac{\sqrt{21}i}{3}+2\approx 2-1,527525232i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}-12x+19=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, -12 for b og 19 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 3\times 19}}{2\times 3}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 3\times 19}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-12\times 19}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 19.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-228}}{2\times 3}$$

Legg sammen 144 og -228.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-84}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av -84.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{21}i}{2\times 3}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{21}i}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{12±2\sqrt{21}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±2\sqrt{21}i}{6} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 2i\sqrt{21}.

$$x=\frac{12+2\sqrt{21}i}{6}$$

Del 12+2i\sqrt{21} på 6.

$$x=\frac{\sqrt{21}i}{3}+2$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±2\sqrt{21}i}{6} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{21} fra 12.

$$x=\frac{-2\sqrt{21}i+12}{6}$$

Del 12-2i\sqrt{21} på 6.

$$x=-\frac{\sqrt{21}i}{3}+2$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{21}i}{3}+2 x=-\frac{\sqrt{21}i}{3}+2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-12x+19=0$$

Trekk fra 19 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}-12x+19-19=-19$$

Når du trekker fra 19 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}-12x=-19$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}-12x}{3}=-\frac{19}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{3}\right)x=-\frac{19}{3}$$

Del -12 på 3.

$$x^{2}-4x=-\frac{19}{3}$$

Del -4, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -2. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -2 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{19}{3}+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrer -2.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{19}{3}+4$$

Legg sammen -\frac{19}{3} og 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{7}{3}$$

Faktoriser x^{2}-4x+4. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{7}{3}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{3}}$$

Forenkle.

$$x-2=\frac{\sqrt{21}i}{3} x-2=-\frac{\sqrt{21}i}{3}$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{21}i}{3}+2 x=-\frac{\sqrt{21}i}{3}+2$$