Løs 3x^2+x-4=0

$$3 x ^ { 2 } + x - 4 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som 3x^{2}+ax+bx-4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=3\left(-4\right)=-12$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=-3 b=4$$

Skriv om 3x^{2}+x-4 som \left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(4x-4\right)$$

Faktor ut 3x i den første og 4 i den andre gruppen.

$$3x\left(x-1\right)+4\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(3x+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-1=0 og 3x+4=0.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 1 for b og -4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\times 3}$$

Legg sammen 1 og 48.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 49.

$$x=\frac{-1±7}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-1±7}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±7}{6} når ± er pluss. Legg sammen -1 og 7.

$$x=\frac{6}{6}$$

Del 6 på 6.

$$x=1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±7}{6} når ± er minus. Trekk fra 7 fra -1.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Forkort brøken \frac{-8}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x-4=0$$

Legg til 4 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Når du trekker fra -4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+x=-\left(-4\right)$$

Trekk fra -4 fra 0.

$$3x^{2}+x=4$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{4}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{4}{3}$$

Divider \frac{1}{3}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{1}{6}. Legg deretter til kvadratet av \frac{1}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{4}{3}+\frac{1}{36}$$

Legg sammen \frac{4}{3} og \frac{1}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{49}{36}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{7}{6}$$

Trekk fra \frac{1}{6} fra begge sider av ligningen.

$$x=1 x=-\frac{4}{3}$$