Løs 3x^2+x-2<0

$$3 x ^ { 2 } + x - 2 < 0$$

Løs for x

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+x-2=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 3 med a, 1 med b, og -2 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-1±5}{6}$$

Løs ligningen x=\frac{-1±5}{6} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{2}{3} x=-1$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+1\right)<0$$

For at produktet skal være negativt, x-\frac{2}{3} og x+1 må være av motsatt tegn. Vurder saken når x-\frac{2}{3} er positiv og x+1 er negativ.

$$x-\frac{2}{3}>0 x+1<0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x+1 er positiv og x-\frac{2}{3} er negativ.

$$x+1>0 x-\frac{2}{3}<0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right).

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \left(-1,\frac{2}{3}\right)$$