Løs 3x^2+x=11

$$3 x ^ { 2 } + x = 11$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{133} - 1}{6} \approx 1,755427099$$

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}\approx -2,088760432$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+x=11$$

Trekk fra 11 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+x-11=11-11$$

Når du trekker fra 11 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+x-11=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 1 for b og -11 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -11.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+132}}{2\times 3}$$

Legg sammen 1 og 132.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} når ± er pluss. Legg sammen -1 og \sqrt{133}.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{133}}{6} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{133} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+x=11$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+x}{3}=\frac{11}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x=\frac{11}{3}$$

Del \frac{1}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{11}{3}+\frac{1}{36}$$

Legg sammen \frac{11}{3} og \frac{1}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{133}{36}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{133}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{133}{36}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{133}}{6} x+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{133}}{6}$$

Trekk fra \frac{1}{6} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{133}-1}{6} x=\frac{-\sqrt{133}-1}{6}$$