Løs 3x^2+9x-30=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x - 30 = 0$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x=2$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 3.

$$x^{2}+3x-10=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx-10. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -10.

$$-1,10 -2,5$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Løsningen er paret som gir Summer 3.

$$a=-2 b=5$$

Skriv om x^{2}+3x-10 som \left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(5x-10\right)$$

Faktor ut x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-2\right)\left(x+5\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-2=0 og x+5=0.

$$x=2 x=-5$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 9 for b og -30 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-30\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -30.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+360}}{2\times 3}$$

Legg sammen 81 og 360.

$$x=\frac{-9±\sqrt{441}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 441.

$$x=\frac{-9±21}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-9±21}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±21}{6} når ± er pluss. Legg sammen -9 og 21.

$$x=\frac{12}{6}$$

Del 12 på 6.

$$x=2$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±21}{6} når ± er minus. Trekk fra 21 fra -9.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Del -30 på 6.

$$x=-5$$

Ligningen er nå løst.

$$x=2 x=-5$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x-30=0$$

Legg til 30 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+9x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Når du trekker fra -30 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+9x=-\left(-30\right)$$

Trekk fra -30 fra 0.

$$3x^{2}+9x=30$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{30}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{30}{3}$$

Del 9 på 3.

$$x^{2}+3x=\frac{30}{3}$$

Del 30 på 3.

$$x^{2}+3x=10$$

Divider 3, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{3}{2}. Legg deretter til kvadratet av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Legg sammen 10 og \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktoriser x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=2 x=-5$$