Løs 3x^2+9x+9=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 9 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}\approx -1,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}\approx -1,5-0,866025404i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+9x+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 9 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Kvadrer 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 9}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-108}}{2\times 3}$$

Legg sammen 81 og -108.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-27}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av -27.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6} når ± er pluss. Legg sammen -9 og 3i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-9+3\sqrt{3}i}{6}$$

Del -9+3i\sqrt{3} på 6.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6} når ± er minus. Trekk fra 3i\sqrt{3} fra -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-9}{6}$$

Del -9-3i\sqrt{3} på 6.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+9=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+9x+9-9=-9$$

Når du trekker fra 9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+9x=-9$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Del 9 på 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{3}$$

Del -9 på 3.

$$x^{2}+3x=-3$$

Del 3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-3+\frac{9}{4}$$

Legg sammen -3 og \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Faktoriser x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$