Løs 3x^2+9x+6=90

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 6 = 90$$

Løs for x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra 90 fra begge sider.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Trekk fra 90 fra 6 for å få -84.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Del begge sidene på 3.

$$x^{2}+3x-28=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-28. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Løsningen er paret som gir Summer 3.

$$a=-4 b=7$$

Skriv om x^{2}+3x-28 som \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Faktor ut x i den første og 7 i den andre gruppen.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-4=0 og x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Trekk fra 90 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+9x+6-90=90-90$$

Når du trekker fra 90 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+9x+6-90=0$$

Trekk fra 90 fra 6.

$$3x^{2}+9x-84=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 9 for b og -84 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\left(-84\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -84.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+1008}}{2\times 3}$$

Legg sammen 81 og 1008.

$$x=\frac{-9±\sqrt{1089}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 1089.

$$x=\frac{-9±33}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-9±33}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±33}{6} når ± er pluss. Legg sammen -9 og 33.

$$x=\frac{24}{6}$$

Del 24 på 6.

$$x=4$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±33}{6} når ± er minus. Trekk fra 33 fra -9.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Del -42 på 6.

$$x=-7$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4 x=-7$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+6=90$$

Trekk fra 6 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+9x+6-6=90-6$$

Når du trekker fra 6 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+9x=90-6$$

Trekk fra 6 fra 90.

$$3x^{2}+9x=84$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=\frac{84}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=\frac{84}{3}$$

Del 9 på 3.

$$x^{2}+3x=\frac{84}{3}$$

Del 84 på 3.

$$x^{2}+3x=28$$

Del 3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Legg sammen 28 og \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Faktoriser x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=4 x=-7$$