Løs 3x^2+9x+4=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 4 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}\approx -0,542572892$$

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}\approx -2,457427108$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+9x+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 9 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Kvadrer 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 4}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 4}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 4.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-48}}{2\times 3}$$

Legg sammen 81 og -48.

$$x=\frac{-9±\sqrt{33}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6} når ± er pluss. Legg sammen -9 og \sqrt{33}.

$$x=\frac{\sqrt{33}-9}{6}$$

Del -9+\sqrt{33} på 6.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-9±\sqrt{33}}{6} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{33} fra -9.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-9}{6}$$

Del -9-\sqrt{33} på 6.

$$x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+4=0$$

Trekk fra 4 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+9x+4-4=-4$$

Når du trekker fra 4 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+9x=-4$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{4}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{4}{3}$$

Del 9 på 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{4}{3}$$

Divider 3, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{3}{2}. Legg deretter til kvadratet av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{4}{3}+\frac{9}{4}$$

Legg sammen -\frac{4}{3} og \frac{9}{4} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{11}{12}$$

Faktoriser x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{11}{12}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{12}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{33}}{6} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{33}}{6}$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2} x=-\frac{\sqrt{33}}{6}-\frac{3}{2}$$