Løs 3x^2+7x-6leq0

$$3 x ^ { 2 } + 7 x - 6 \leq 0$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}-3,\frac{2}{3}\end{bmatrix}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+7x-6=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 3 med a, 7 med b, og -6 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 3\left(-6\right)}}{2\times 3}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{-7±11}{6}$$

Løs ligningen x=\frac{-7±11}{6} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{2}{3} x=-3$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$3\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+3\right)\leq 0$$

En av verdiene x-\frac{2}{3} og x+3 må være ≥0 og den andre må være ≤0 for at produktet skal bli ≤0. Vurder saken når x-\frac{2}{3}\geq 0 og x+3\leq 0.

$$x-\frac{2}{3}\geq 0 x+3\leq 0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\frac{2}{3}\leq 0 og x+3\geq 0.

$$x+3\geq 0 x-\frac{2}{3}\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left[-3,\frac{2}{3}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-3,\frac{2}{3}\end{bmatrix}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \begin{bmatrix}-3,\frac{2}{3}\end{bmatrix}$$