Løs 3x^2+7x=5

$$3 x ^ { 2 } + 7 x = 5$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6}\approx 0,573384418$$

$$x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}\approx -2,906717751$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+7x=5$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+7x-5=5-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+7x-5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 7 for b og -5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+60}}{2\times 3}$$

Legg sammen 49 og 60.

$$x=\frac{-7±\sqrt{109}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-7±\sqrt{109}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-7±\sqrt{109}}{6} når ± er pluss. Legg sammen -7 og \sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-7±\sqrt{109}}{6} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{109} fra -7.

$$x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+7x=5$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+7x}{3}=\frac{5}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x=\frac{5}{3}$$

Del \frac{7}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{7}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{7}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{7}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Legg sammen \frac{5}{3} og \frac{49}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{109}{36}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{109}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{36}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{109}}{6} x+\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{109}}{6}$$

Trekk fra \frac{7}{6} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{109}-7}{6} x=\frac{-\sqrt{109}-7}{6}$$