Løs 3x^2+4x-1=0

$$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}\approx 0,215250437$$

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}\approx -1,54858377$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 4 for b og -1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+12}}{2\times 3}$$

Legg sammen 16 og 12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{28}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 28.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} når ± er pluss. Legg sammen -4 og 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-4}{6}$$

Del -4+2\sqrt{7} på 6.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-4±2\sqrt{7}}{6} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{7} fra -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-4}{6}$$

Del -4-2\sqrt{7} på 6.

$$x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x-1=0$$

Legg til 1 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Når du trekker fra -1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+4x=-\left(-1\right)$$

Trekk fra -1 fra 0.

$$3x^{2}+4x=1$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=\frac{1}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$$

Del \frac{4}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{2}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{2}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{2}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Legg sammen \frac{1}{3} og \frac{4}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{7}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Trekk fra \frac{2}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{7}-2}{3} x=\frac{-\sqrt{7}-2}{3}$$