Løs 3x^2+36x+81=0

$$3 x ^ { 2 } + 36 x + 81 = 0$$

Løs for x

$$x=-9$$

$$x=-3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Del begge sidene på 3.

$$x^{2}+12x+27=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx+27. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=12 ab=1\times 27=27$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 27.

$$1,27 3,9$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+27=28 3+9=12$$

Løsningen er paret som gir Summer 12.

$$a=3 b=9$$

Skriv om x^{2}+12x+27 som \left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(9x+27\right)$$

Faktor ut x i den første og 9 i den andre gruppen.

$$x\left(x+3\right)+9\left(x+3\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x+3 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x+3\right)\left(x+9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x+3=0 og x+9=0.

$$x=-3 x=-9$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+36x+81=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 36 for b og 81 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 3\times 81}}{2\times 3}$$

Kvadrer 36.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 3\times 81}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-12\times 81}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 81.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-972}}{2\times 3}$$

Legg sammen 1296 og -972.

$$x=\frac{-36±\sqrt{324}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 324.

$$x=\frac{-36±18}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-36±18}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-36±18}{6} når ± er pluss. Legg sammen -36 og 18.

$$x=-\frac{18}{6}$$

Del -18 på 6.

$$x=-3$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-36±18}{6} når ± er minus. Trekk fra 18 fra -36.

$$x=-\frac{54}{6}$$

Del -54 på 6.

$$x=-9$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-3 x=-9$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+36x+81=0$$

Trekk fra 81 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+36x+81-81=-81$$

Når du trekker fra 81 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+36x=-81$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+36x}{3}=-\frac{81}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{36}{3}x=-\frac{81}{3}$$

Del 36 på 3.

$$x^{2}+12x=-\frac{81}{3}$$

Del -81 på 3.

$$x^{2}+12x=-27$$

Del 12, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få 6. Deretter legger du til kvadrat firkanten av 6 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+12x+6^{2}=-27+6^{2}$$

Kvadrer 6.

$$x^{2}+12x+36=-27+36$$

Legg sammen -27 og 36.

$$x^{2}+12x+36=9$$

Faktoriser x^{2}+12x+36. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=9$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkle.

$$x+6=3 x+6=-3$$

Trekk fra 6 fra begge sider av ligningen.

$$x=-3 x=-9$$