Løs 3x^2+23x-8=0

$$3 x ^ { 2 } + 23 x - 8 = 0$$

Løs for x

$$x=-8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx-8. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=23 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 23.

$$a=-1 b=24$$

Skriv om 3x^{2}+23x-8 som \left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right)$$

Faktor ut x i den første og 8 i den andre gruppen.

$$x\left(3x-1\right)+8\left(3x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-1\right)\left(x+8\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x-1=0 og x+8=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 23 for b og -8 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 23.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -8.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+96}}{2\times 3}$$

Legg sammen 529 og 96.

$$x=\frac{-23±\sqrt{625}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 625.

$$x=\frac{-23±25}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-23±25}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-23±25}{6} når ± er pluss. Legg sammen -23 og 25.

$$x=\frac{2}{6}$$

Forkort brøken \frac{2}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-23±25}{6} når ± er minus. Trekk fra 25 fra -23.

$$x=-\frac{48}{6}$$

Del -48 på 6.

$$x=-8$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Legg til 8 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+23x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Når du trekker fra -8 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+23x=-\left(-8\right)$$

Trekk fra -8 fra 0.

$$3x^{2}+23x=8$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+23x}{3}=\frac{8}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x=\frac{8}{3}$$

Del \frac{23}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{23}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{23}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{23}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{8}{3}+\frac{529}{36}$$

Legg sammen \frac{8}{3} og \frac{529}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{625}{36}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{625}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{36}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{23}{6}=\frac{25}{6} x+\frac{23}{6}=-\frac{25}{6}$$

Trekk fra \frac{23}{6} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$