Løs 3x^2+2x+5=18

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 5 = 18$$

Løs for x

$$x = \frac{2 \sqrt{10} - 1}{3} \approx 1,774851773$$

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}\approx -2,44151844$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+2x+5=18$$

Trekk fra 18 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+2x+5-18=18-18$$

Når du trekker fra 18 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+2x+5-18=0$$

Trekk fra 18 fra 5.

$$3x^{2}+2x-13=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 2 for b og -13 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -13.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+156}}{2\times 3}$$

Legg sammen 4 og 156.

$$x=\frac{-2±\sqrt{160}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 160.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 4\sqrt{10}.

$$x=\frac{4\sqrt{10}-2}{6}$$

Del -2+4\sqrt{10} på 6.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6} når ± er minus. Trekk fra 4\sqrt{10} fra -2.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}-2}{6}$$

Del -2-4\sqrt{10} på 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+5=18$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+2x+5-5=18-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+2x=18-5$$

Trekk fra 5 fra 18.

$$3x^{2}+2x=13$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{13}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{13}{3}$$

Del \frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{13}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{13}{3}+\frac{1}{9}$$

Legg sammen \frac{13}{3} og \frac{1}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{40}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{40}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{10}}{3}$$

Trekk fra \frac{1}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$