Løs 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0,333333333+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0,333333333-0,471404521i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 2 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Kvadrer 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Legg sammen 4 og -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} når ± er pluss. Legg sammen -2 og 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Del -2+2i\sqrt{2} på 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{2} fra -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Del -2-2i\sqrt{2} på 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Trekk fra 1 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Når du trekker fra 1 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Del \frac{2}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Legg sammen -\frac{1}{3} og \frac{1}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Trekk fra \frac{1}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$