Løs 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

Løs for x

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 3x^{2}+ax+bx-35. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

Løsningen er paret som gir Summer 16.

$$a=-5 b=21$$

Skriv om 3x^{2}+16x-35 som \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

Faktor ut x i den første og 7 i den andre gruppen.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 3x-5=0 og x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 16 for b og -35 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

Legg sammen 256 og 420.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 676.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-16±26}{6} når ± er pluss. Legg sammen -16 og 26.

$$x=\frac{10}{6}$$

Forkort brøken \frac{10}{6} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{5}{3}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-16±26}{6} når ± er minus. Trekk fra 26 fra -16.

$$x=-\frac{42}{6}$$

Del -42 på 6.

$$x=-7$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

Legg til 35 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

Når du trekker fra -35 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

Trekk fra -35 fra 0.

$$3x^{2}+16x=35$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

Del \frac{16}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{8}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{8}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{8}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

Legg sammen \frac{35}{3} og \frac{64}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

Trekk fra \frac{8}{3} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$