Løs 3x^2+12x=-9

$$3 x ^ { 2 } + 12 x = - 9$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x=-1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Legg til 9 på begge sider.

$$3x^{2}+12x+9=0$$

Del begge sidene på 3.

$$x^{2}+4x+3=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx+3. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=4 ab=1\times 3=3$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=1 b=3$$

Skriv om x^{2}+4x+3 som \left(x^{2}+x\right)+\left(3x+3\right).

$$\left(x^{2}+x\right)+\left(3x+3\right)$$

Faktor ut x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$x\left(x+1\right)+3\left(x+1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x+1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x+1\right)\left(x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x+1=0 og x+3=0.

$$x=-1 x=-3$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+12x=-9$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+12x-\left(-9\right)=-9-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+12x-\left(-9\right)=0$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$3x^{2}+12x+9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 12 for b og 9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Kvadrer 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-12\times 9}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger 9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2\times 3}$$

Legg sammen 144 og -108.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Ta kvadratroten av 36.

$$x=\frac{-12±6}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-12±6}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-12±6}{6} når ± er pluss. Legg sammen -12 og 6.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Del -6 på 6.

$$x=-1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-12±6}{6} når ± er minus. Trekk fra 6 fra -12.

$$x=-\frac{18}{6}$$

Del -18 på 6.

$$x=-3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-1 x=-3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+12x=-9$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+12x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{12}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Del 12 på 3.

$$x^{2}+4x=-\frac{9}{3}$$

Del -9 på 3.

$$x^{2}+4x=-3$$

Del 4, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få 2. Deretter legger du til kvadrat firkanten av 2 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-3+2^{2}$$

Kvadrer 2.

$$x^{2}+4x+4=-3+4$$

Legg sammen -3 og 4.

$$x^{2}+4x+4=1$$

Faktoriser x^{2}+4x+4. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=1$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Forenkle.

$$x+2=1 x+2=-1$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$x=-1 x=-3$$