Løs 3x^2+11x+2=15

$$3 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 15$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{277}-11}{6}\approx 0,94055283$$

$$x=\frac{-\sqrt{277}-11}{6}\approx -4,607219496$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$3x^{2}+11x+2=15$$

Trekk fra 15 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+11x+2-15=15-15$$

Når du trekker fra 15 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+11x+2-15=0$$

Trekk fra 15 fra 2.

$$3x^{2}+11x-13=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 3 for a, 11 for b og -13 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Kvadrer 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -4 ganger 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Multipliser -12 ganger -13.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+156}}{2\times 3}$$

Legg sammen 121 og 156.

$$x=\frac{-11±\sqrt{277}}{2\times 3}$$

Multipliser 2 ganger 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{277}}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±\sqrt{277}}{6} når ± er pluss. Legg sammen -11 og \sqrt{277}.

$$x=\frac{\sqrt{277}-11}{6}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-11±\sqrt{277}}{6} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{277} fra -11.

$$x=\frac{-\sqrt{277}-11}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{277}-11}{6} x=\frac{-\sqrt{277}-11}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x+2=15$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$3x^{2}+11x+2-2=15-2$$

Når du trekker fra 2 fra seg selv har du 0 igjen.

$$3x^{2}+11x=15-2$$

Trekk fra 2 fra 15.

$$3x^{2}+11x=13$$

Del begge sidene på 3.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=\frac{13}{3}$$

Hvis du deler på 3, gjør du om gangingen med 3.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=\frac{13}{3}$$

Del \frac{11}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{11}{6}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{11}{6} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{13}{3}+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{11}{6} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{13}{3}+\frac{121}{36}$$

Legg sammen \frac{13}{3} og \frac{121}{36} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=\frac{277}{36}$$

Faktoriser x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{277}{36}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{277}{36}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{277}}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{277}}{6}$$

Trekk fra \frac{11}{6} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{277}-11}{6} x=\frac{-\sqrt{277}-11}{6}$$