Løs 3x+y-10=0;3x-y+4=0

$$3 x + y - 10 = 0 ; 3 x - y + 4 = 0$$

Løs for x, y

$$x=1$$

$$y=7$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$3x+y-10=0,3x-y+4=0$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$3x+y-10=0$$

Legg til 10 på begge sider av ligningen.

$$3x+y=10$$

Trekk fra y fra begge sider av ligningen.

$$3x=-y+10$$

Del begge sidene på 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+10\right)$$

Multipliser \frac{1}{3} ganger -y+10.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

Sett inn \frac{-y+10}{3} for x i den andre formelen, 3x-y+4=0.

$$3\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)-y+4=0$$

Multipliser 3 ganger \frac{-y+10}{3}.

$$-y+10-y+4=0$$

Legg sammen -y og -y.

$$-2y+10+4=0$$

Legg sammen 10 og 4.

$$-2y+14=0$$

Trekk fra 14 fra begge sider av ligningen.

$$-2y=-14$$

Del begge sidene på -2.

$$y=7$$

Sett inn 7 for y i x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=-\frac{1}{3}\times 7+\frac{10}{3}$$

Multipliser -\frac{1}{3} ganger 7.

$$x=\frac{-7+10}{3}$$

Legg sammen \frac{10}{3} og -\frac{7}{3} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=1$$

Systemet er nå løst.

$$x=1,y=7$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$3x+y-10=0,3x-y+4=0$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{3\left(-1\right)-3}&\frac{3}{3\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 10+\frac{1}{6}\left(-4\right)\\\frac{1}{2}\times 10-\frac{1}{2}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=1,y=7$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$3x+y-10=0,3x-y+4=0$$

Trekk fra 3x-y+4=0 fra 3x+y-10=0 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$3x-3x+y+y-10-4=0$$

Legg sammen 3x og -3x. Vilkårene 3x og -3x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$y+y-10-4=0$$

Legg sammen y og y.

$$2y-10-4=0$$

Legg sammen -10 og -4.

$$2y-14=0$$

Legg til 14 på begge sider av ligningen.

$$2y=14$$

Del begge sidene på 2.

$$y=7$$

Sett inn 7 for y i 3x-y+4=0. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$3x-7+4=0$$

Legg sammen -7 og 4.

$$3x-3=0$$

Legg til 3 på begge sider av ligningen.

$$3x=3$$

Del begge sidene på 3.

$$x=1$$

Systemet er nå løst.

$$x=1,y=7$$