Løs 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Løs for x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Vurder den første formelen. Trekk fra 6y fra begge sider.

$$3x+9-6y=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$3x-6y=-9$$

Vurder den andre formelen. Legg til 12 på begge sider. Hvilket som helst tall pluss null gir seg selv.

$$-2x-2y=12$$

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$3x-6y=-9$$

Legg til 6y på begge sider av ligningen.

$$3x=6y-9$$

Del begge sidene på 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Multipliser \frac{1}{3} ganger 6y-9.

$$x=2y-3$$

Sett inn 2y-3 for x i den andre formelen, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Multipliser -2 ganger 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Legg sammen -4y og -2y.

$$-6y+6=12$$

Trekk fra 6 fra begge sider av ligningen.

$$-6y=6$$

Del begge sidene på -6.

$$y=-1$$

Sett inn -1 for y i x=2y-3. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=-2-3$$

Legg sammen -3 og -2.

$$x=-5$$

Systemet er nå løst.

$$x=-5,y=-1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Vurder den første formelen. Trekk fra 6y fra begge sider.

$$3x+9-6y=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$3x-6y=-9$$

Vurder den andre formelen. Legg til 12 på begge sider. Hvilket som helst tall pluss null gir seg selv.

$$-2x-2y=12$$

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=-5,y=-1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Vurder den første formelen. Trekk fra 6y fra begge sider.

$$3x+9-6y=0$$

Trekk fra 9 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$3x-6y=-9$$

Vurder den andre formelen. Legg til 12 på begge sider. Hvilket som helst tall pluss null gir seg selv.

$$-2x-2y=12$$

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

For å gjøre 3x og -2x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med -2 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Forenkle.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Trekk fra -6x-6y=36 fra -6x+12y=18 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Legg sammen -6x og 6x. Vilkårene -6x og 6x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$12y+6y=18-36$$

Legg sammen 12y og 6y.

$$18y=18-36$$

Legg sammen 18 og -36.

$$18y=-18$$

Del begge sidene på 18.

$$y=-1$$

Sett inn -1 for y i -2x-2y=12. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Multipliser -2 ganger -1.

$$-2x+2=12$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$-2x=10$$

Del begge sidene på -2.

$$x=-5$$

Systemet er nå løst.

$$x=-5,y=-1$$