Løs 3x+5y=8text{and}x-2y=-1

$$3 x + 5 y = 8 \text { and } x - 2 y = - 1$$

Løs for x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$3x+5y=8$$

Trekk fra 5y fra begge sider av ligningen.

$$3x=-5y+8$$

Del begge sidene på 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+8\right)$$

Multipliser \frac{1}{3} ganger -5y+8.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}$$

Sett inn \frac{-5y+8}{3} for x i den andre formelen, x-2y=-1.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}-2y=-1$$

Legg sammen -\frac{5y}{3} og -2y.

$$-\frac{11}{3}y+\frac{8}{3}=-1$$

Trekk fra \frac{8}{3} fra begge sider av ligningen.

$$-\frac{11}{3}y=-\frac{11}{3}$$

Del begge sidene av ligningen på -\frac{11}{3}, som er det samme som å multiplisere begge sidene med den resiproke verdien av brøken.

$$y=1$$

Sett inn 1 for y i x=-\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=\frac{-5+8}{3}$$

Legg sammen \frac{8}{3} og -\frac{5}{3} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x=1$$

Systemet er nå løst.

$$x=1,y=1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-2\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-2\right)-5}&\frac{3}{3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 8+\frac{5}{11}\left(-1\right)\\\frac{1}{11}\times 8-\frac{3}{11}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=1,y=1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$3x+5y=8,x-2y=-1$$

For å gjøre 3x og x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 1 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 3.

$$3x+5y=8,3x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

Forenkle.

$$3x+5y=8,3x-6y=-3$$

Trekk fra 3x-6y=-3 fra 3x+5y=8 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$3x-3x+5y+6y=8+3$$

Legg sammen 3x og -3x. Vilkårene 3x og -3x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$5y+6y=8+3$$

Legg sammen 5y og 6y.

$$11y=8+3$$

Legg sammen 8 og 3.

$$11y=11$$

Del begge sidene på 11.

$$y=1$$

Sett inn 1 for y i x-2y=-1. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x-2=-1$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$x=1$$

Systemet er nå løst.

$$x=1,y=1$$