Løs 3x+5=x^2+1

$$3 x + 5 = x ^ { 2 } + 1$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Trekk fra 1 fra begge sider.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Trekk fra 1 fra 5 for å få 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som -x^{2}+ax+bx+4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=3 ab=-4=-4$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -4.

$$-1,4 -2,2$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Løsningen er paret som gir Summer 3.

$$a=4 b=-1$$

Skriv om -x^{2}+3x+4 som \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Faktor ut -x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$-x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-4 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-4\right)\left(-x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-4=0 og -x-1=0.

$$x=4 x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Trekk fra 1 fra begge sider.

$$3x+5-x^{2}-1=0$$

Trekk fra 1 fra 5 for å få 4.

$$3x+4-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+3x+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 3 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 4}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 9 og 16.

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 25.

$$x=\frac{-3±5}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-3±5}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±5}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -3 og 5.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Del 2 på -2.

$$x=-1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±5}{-2} når ± er minus. Trekk fra 5 fra -3.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

Del -8 på -2.

$$x=4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-1 x=4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$3x+5-x^{2}=1$$

Trekk fra 5 fra begge sider.

$$3x-x^{2}=1-5$$

Trekk fra 5 fra 1 for å få -4.

$$3x-x^{2}=-4$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=-4$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{4}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{4}{-1}$$

Del 3 på -1.

$$x^{2}-3x=-\frac{4}{-1}$$

Del -4 på -1.

$$x^{2}-3x=4$$

Divider -3, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{3}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=4+\frac{9}{4}$$

Legg sammen 4 og \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktoriser x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{5}{2}$$

Legg til \frac{3}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=4 x=-1$$